παραστατική γεωμετρία

Το σύνολο των γεωμετρικών μεθόδων για την παράσταση σχημάτων του χώρου στο επίπεδο. Η παράσταση είναι τέτοια, ώστε να επιτρέπει την αντίληψη του ίδιου του σχήματος και την (έμμεση) μελέτη των ιδιοτήτων του. Από τις μεθόδους της π.γ. θα αναφερθούν εδώ εν συντομία οι πιο βασικές. Τα πρώτα ίχνη των μεθόδων της π.γ. εμφανίζονται στα έργα για την αρχιτεκτονική του Βιτρουβίου, καθώς και στις πομπηιανές διακοσμήσεις με αρχιτεκτονικό χαρακτήρα. Τα ίχνη αυτά εμφανίζονται πιο έντονα στα έργα των μεγάλων αρχιτεκτόνων και δασκάλων της ζωγραφικής κατά την Αναγέννηση, όπως των Πάολο Ουτσέλο, Φιλίπο Μπρουνελέσκι, Λεόν Μπατίστα Αλμπέρτι και Πιέρο ντέλα Φραντσέσκα. Πρώτοι αυτοί χρησιμοποίησαν πραγματικά γεωμετρικές μεθόδους στην αισθητική της τέχνης τους. Οι σχετικές με τις μεθόδους αυτές γνώσεις μεταδίδονταν προφορικά και είχαν εντελώς πρακτικό χαρακτήρα. Με το πέρασμα του χρόνου, οι πρακτικές αυτές μέθοδοι αποκρυσταλλώνονται, παίρνουν χαρακτήρα όλο και πιο επιστημονικό και τελικά εμφανίζονται επίσημα για πρώτη φορά στη διδασκαλία με την ίδρυση της Πολυτεχνικής Σχολής στο Παρίσι (1795). Ο «πρώτος διδάξας» υπήρξε ο Γκασπάρ Μονζ, και από τότε μπορεί να γίνεται λόγος για π.γ. με την καθαρά επιστημονική σημασία του όρου. Οι βασικότερες μέθοδοι της π.γ είναι οι εξής: 1) η μέθοδος των opθογώνιων προβολών ή μέθοδος του Μονζ (ίχνη της βρίσκονται στα έργα του Βιτρουβίου)· 2) η μέθοδος της κεντρικής προβολής· 3) η μέθοδος της προοπτικής· 4) η μέθοδος της υψομετρικής προβολής· και 5) η μέθοδος της αξονομετρικής προβολής. 1) Η μέθοδος των ορθογωνίων προβολών (του Μονζ): Oρίζονται αρχικά δύο επίπεδα π₁, π₂, αμοιβαία κάθετα, το πρώτο και το δεύτερο επίπεδο προβολής (όπως λέγονται). Ένα σημείο, έστω Ρ, του χώρου παριστάνεται κατά τη μέθοδο αυτή ως εξής: έστω ότι είναι Ρ₁, Ρ₂ οι ορθές προβολές του Ρ στα επίπεδα π₁, π₂ (αντίστοιχα) και I η τομή τους (η γραμμή του εδάφους, όπως λέγεται). Αν τώρα νοηθεί το π₂ στρεφόμενο γύρω από την I ώσπου να ταυτιστεί με το π₁ (κατάκλιση του π₂ στο π₁), τότε το Ρ₂ θα λάβει θέση στην από το P₁ κάθετο προς τη γραμμή εδάφους I (Σχ. 1). Έτσι το σημείο Ρ παριστάνεται στο επίπεδο π₁ από τα σημεία P, Ρ₂ (η κατάκλιση υποτίθεται τέτοια, ώστε τα σημεία Ρ₁, P₂ να μην βρίσκονται προς το αυτό μέρος του επιπέδου π₁ ως προς τη γραμμή εδάφους I). Η προηγούμενη παράσταση στο επίπεδο π₁ του σημείου Ρ είναι μονοσήμαντα αντιστρέψιμη (κάθε σημείο έχει μια μοναδική παράσταση και αντίστροφα, εφόσον έχουν αρχικά καθοριστεί τα επίπεδα π₁, π₂). Η απόσταση της α’ προβολής Ρ₁ του Ρ από τη γραμμή εδάφους I (δηλαδή από το 2o επίπεδο προβολής) λέγεται αποχή του Ρ και η απόσταση της β΄ προβολής Ρ₂ του Ρ από τη γραμμή εδάφους I (δηλαδή από το α’ επίπεδο προβολής) λέγεται ύψος του Ρ (το π₁ νοείται οριζόντιο και, φυσικά, το π₂ κατακόρυφο). Με τη μέθοδο που περιγράψαμε, μπορεί να παρασταθεί στο επίπεδο μια ευθεία του χώρου, ένα επίπεδο, καθώς και κάθε σχήμα (γιατί κάθε σχήμα νοείται ως το σύνολο των σημείων του). Στο σχήμα 1 έχει γίνει η παράσταση ενός σημείου Ρ, μιας ευθείας r και ενός επιπέδου α. Η r παρασταίνεται από τις δύο προβολές της r₁, r₂ είτε από τα δύο ίχνη της T’r, T’’r στα επίπεδα π₁, π₂ και το επίπεδο α από τα δύο ίχνη του t’α, t’’α στα επίπεδα π₁, π₂. Είναι φανερό ότι: ένα σημείο, έστω Ρ, ανήκει σε μια ευθεία, έστω r, εάν (και μόνον εάν) η α’ προβολή Ρ₁ του Ρ ανήκει στην α’ προβολή r₁ της r και η β’ προβολή Ρ₂ του Ρ ανήκει στη β’ προβολή r₂ της r. Ανάλογα διατυπώνονται συνθήκες παραλληλίας δύο ευθειών r, s, δύο επιπέδων α, β, μιας ευθείας r και ενός επιπέδου α, καθώς και αντίστοιχες συνθήκες καθετότητας (δύο ευθειών, δύο επιπέδων, ευθείας και επιπέδου). Επίσης μπορεί να καθοριστεί η απόσταση δύο σημείων Ρ, Q· το τμήμα ΡQ είναι υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές την α’ προβολή P₁Q₁ του PQ και την άλλη ίση με τη διαφορά των υψών των σημείων Ρ, Q είτε με κάθετες πλευρές τη β’ προβολή P₂Q₂ του PQ και την άλλη ίση με τη διαφορά των αποχών των σημείων Ρ, Q. Μπορούμε ακόμα από την παράσταση κατά Μονζ να λύσουμε πλήθος άλλων προβλημάτων, όπως για παράδειγμα να ορίσουμε την τομή δύο ευθειών, δύο επιπέδων, να ορίσουμε την κάθετο ευθεία προς επίπεδο από ένα σημείο, το κάθετο επίπεδο από ένα σημείο προς μια ευθεία κλπ. Η κατά Μονζ παράσταση έχει το μειονέκτημα ότι δεν διατηρεί τα μήκη ούτε τις γωνίες· γι’ αυτό με την παράσταση αυτή αλλάζει η μορφή των σχημάτων που παριστάνονται. Έτσι, για παράδειγμα, ένα ορθογώνιο δεν παριστάνεται με ορθογώνια τρίγωνα. Για να αντιληφθούμε την πραγματική μορφή ενός επίπεδου σχήματος από την κατά Μονζ παράστασή του,απαιτείται να γίνεται κατάκλιση του επιπέδου στο α’ ή στο β’ επίπεδο προβολής. Έτσι μπορούμε να μεταβαίνουμε από την α’ (ή τη β’) προβολή του σχήματος που παριστάνουμε, στο ίδιο αυτό το σχήμα με τη βοήθεια μιας ομολογίας, που ονομάζεται ομολογία κατάκλισης. 2) Η μέθοδος της κεντρικής προβολής: Oρίζονται αρχικά ένα επίπεδο π (επίπεδο προβολής ή σχεδίασης) και ένα σημείο Ο, όχι του επιπέδου π (κέντρο προβολής ή όψης). Με τη μέθοδο αυτή μια ευθεία r παριστάνεται στο π από την προβολή της πάνω σε αυτό από το Ο· σημειώνουμε ιδιαίτερα στο π το ίχνος Tr της r σε αυτό και το αντίστοιχο της r σημείο φυγής, I’r’, δηλαδή το σημείο τομής του π με την παράλληλο της r από το Ο (φυσικά έτσι παριστάνονται μόνο ευθείες που έχουν κοινό σημείο με το π, δηλαδή μη παράλληλες με αυτό). Ένα επίπεδο α που τέμνει το π, έστω κατά την ευθεία t_a, παριστάνεται κατά τη μέθοδο της κεντρικής προβολής από το ίχνος του ta στο π και από την αντίστοιχη ευθεία φυγής i’a, δηλαδή το ίχνος στο π του από το Ο παραλλήλου στο α επιπέδου (βλ. Σχήμα 2). Τέλος, ένα σημείο, έστω Ρ, με την OP μη παράλληλο του π, παριστάνεται από την προβολή του P’ από το Ο στο π και από μια ευθεία που περνάει από αυτό. Και κατά τη μέθοδο αυτή μπορεί να δοθούν οι συνθήκες για vα ανήκει ένα σημείο σε μια ευθεία είτε σε ένα επίπεδο, για να κείται μια ευθεία σε ένα επίπεδο, καθώς και συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας. 3) Η μέθοδος της προοπτικής: Συνίσταται σε έναν συνδυασμό των δύο προηγούμενων (του Μονζ και κεντρικής προβολής). Σημείο (κέντρο) όψης νοείται ο οφθαλμός του παρατηρητή του σχήματος και επίπεδο σχεδίασης ένα επίπεδο π κάθετο στο επίπεδο α’ προβολής π₁. Η τομή του π με το π₁ λέγεται εδώ γραμμή εδάφους και η τομή με το π του από το Ο οριζόντιου (παράλληλου του π₁) επιπέδου λέγεται γραμμή του ορίζοντα. Στο σχήμα 3 γίνεται πρώτα η προοπτική ενός σημείου Ρ του π₁ (με τη βοήθεια δύο ευθειών του που περνούν από το Ρ) και μετά η προοπτική ενός σημείου Ρ του χώρου· γίνεται η προοπτική P’₁ του Ρ₁, πρώτα, κι από αυτή η προοπτική P’ του Ρ. 4) Η μέθοδος της υψομετρικής προβολής: Σε αυτή συνδυάζονται αριθμοί και σχέδιο. Σημεία, ευθείες και επίπεδα προβάλλονται κάθετα σε ένα επίπεδο π (της σχεδίασης). Ένα σημείο, έστω Ρ, παριστάνεται με την προβολή του P’ στο π και με έναν αριθμό που δείχνει το ύψος του ως προς το επίπεδο π· αν το ύψος είναι x, σημειώνουμε στο σχέδιο P’(x) (φυσικά προεκλέγεται μια ορισμένη μονάδα μήκους). Μια ευθεία r παριστάνεται με την προβολή της και με δύο σημεία της, όπου γράφονται τα ύψη των σημείων της r, των οποίων προβολές είναι τα δύο σημεία. Κατά κανόνα παίρνουμε δύο σημεία της r με υψομετρική διαφορά 1. Ένα επίπεδο α, που τέμνει το π κατά μια ευθεία, έστω ε, παριστάνεται στο σχέδιο με ευθείες του π, παράλληλες της ε. Η ευθεία του π, η κάθετος στην ε, παριστάνει μια ευθεία μέγιστης κλίσης του α προς το π. 5) Η αξονομετρική μέθοδος: Σε αυτή παίρνεται ως βάση ένα σύστημα από τρία κάθετα ανά δύο επίπεδα, ένα επίπεδο π (το επίπεδο της σχεδίασης) και η αξονομετρική διεύθυνση. Κατά τη μέθοδο αυτή, σημεία, ευθείες και επίπεδα προβάλλονται ορθογώνια στα επίπεδα π₁ π₂, π₃ και μετά αυτά τα ίδια και οι προβολές τους προβάλλονται στο π (επίπεδο σχεδίασης) κατά την αξονομετρική διεύθυνση. Μια αξιόλογη ειδική περίπτωση έχουμε παίρνοντας το π₂ για π. Ειδικότερα ακόμα, παίρνουμε το π₁ ως πρώτο επίπεδο προβολής (κατά Μονζ) και το π₂ ως επίπεδο σχεδίασης π.